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线性代数的本质笔记

前言

线性代数的本质笔记

建立思考线性代数的基本直觉

线性代数紧紧围绕向量加法和数乘

向量(Vector)

不同人眼中的向量

基向量

线性

变换,暗示运动,要用运动的思想来思考问题

除此之外,也可以把它想象成一种映射或者干脆想象成函数

线性组合:两个数乘向量的和

张成的空间

线性相关与线性无关

相关

无关

基

矩阵(Matrix)与线性变换

很遗憾,Matrix是什么是说不清的。你必须得自己亲眼看看。

—墨菲斯

线性变换

直观上可理解为保持网格线平行且等距分布的变换,需满足以下两点

  1. 直线变换后直线仍为直线
  2. Origin原点保持不变

你可以将单独的一个矩阵看做线性变换后基向量的坐标,也可以将它看做基向量的变换

下图中,如果你将X、Y看做标量,这就像上面提到的线性组合一样,只不过结果是向量XY在新的基下的坐标

矩阵几何意义

线性

剪切变换

剪切变换

列线性相关

如果一个2*2矩阵的列线性相关,则意味着将二维空间压缩为一条直线

矩阵乘法与线性变换复合

saying

复合

因为线性变换相对于最开始的基向量i帽与j帽。

所以每次变换的作用对象都是上一次变换后基向量

注意:因为

复合

复合

复合的几何意义

矩阵的乘积可以看做对上一组基进行变换。

因为2*2矩阵每一组基都有两个向量,所以新的矩阵就是对这两个向量分别线性组合的结果。

第二个变换其实是要找出变换后第一组基的位置

意义

变换顺序

因为每一个变换都针对前一个变换的基,所以顺序不同结果一定不同

顺序

结合律

矩阵运算的结合律如果使用线性变换的角度思考,就会发现,其在几何上显而易见为同一种变换

saying

行列式(determinant)

二维几何意义

2*2矩阵行列式:线性变换改变面积的比例

空间定向改变时,行列式为负

2*2矩阵行列式为负几何上就像将平面翻转过去。此时i帽在j帽的左边。

可以想象i帽在j帽的右边,行列式为正,当i帽逆时针转动时,行列式逐渐减小到0,而后反向增大

det2

公式

三维几何意义

3*3矩阵行列式:线性变换改变体积的比例

使用右手定则确定行列式的正负,满足则为正

right

列线性相关

当矩阵的列线性相关时,行列式为0。

几何上线性变换降维了

Test

test

两个线性变换相继作用的结果等于其乘积的作用效果

注意第二个变换(M1)对于M2作用后的空间扩大了det(M1)倍

线性方程组

fx

分类讨论

det(A)≠0

仅有一解

逆变换

逆

解

det(A)=0

变换将空间压缩到更低维度上,此时没有逆变换

有解

向量V在变换后的直线上

无解

向量V不在变换后的直线上

rank

满秩:最大值,秩与矩阵列数相等

列空间

矩阵列的所有线性组合

span

零空间

也叫核:非满秩变换后,落在零向量(原点)上的向量构成的空间

克莱姆法则

高斯消元法和行阶梯型

对偶性

点积

叉积

基变换

特征向量与特征值

抽象向量空间

未完待续

文章作者: 自由灵
文章链接: https://lemona.tk/68b2f3df.html
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